首页-赢咖3世纪娱乐-登录首页-即使你成为费马那样的数学家你感觉对的事也未必全对(主管:QQ66306964 主管:skype live:.cid.6c7b79dae5ec9830)图 6–1 是一条手链，上面排列着 7 颗宝石，其中几颗是蛋白石，另外几颗是珍珠，它们围成了一个圆。
一共有 16 种。想要确定我有没有遗漏，你除了计数一下图 6–3 中的手链数量，还可以采用一种更高级的方法。从手链的顶部开始，按顺时针方向移动，第一颗宝石不是蛋白石就是珍珠，即有 2 种选择。对于这 2 种选择中的每一种，第二颗宝石又各有 2 种选择，因此手链上前两颗宝石的排列共有 4 种选择。对于这 4 种选择中的每一种，第三颗宝石又各有 2 种选择，至此我们共有 8 种选择。对于这 8 种选择中的每一种，你在为这条手链选最后一颗宝石时，既可以用蛋白石也可以用珍珠，因此你共有 8×2 = 2×2×2×2 = 16 种选择。
当然，你也可以一个一个地数。不过，上述那种高级的方法有一个好处：我们可以将这个推理过程应用于宝石数量更多的手链。例如，由 7 颗宝石串成的手链共有 2×2×2×2×2×2×2 = 128 种排列方式。可惜我的记号笔不够细，在一页纸上画不下这么多条手链。
但你可能会认为，我根本不需要画出那么多条手链。看一下图 6–2， 如果将第一条手链向右旋转 2 格，你就会得到第三条手链。那么，这两条手链是真的不同，还是完全一样，只不过视角不同？
从现在开始，我们坚守一个约定：如果手链在页面上看起来不同， 我们就将它们视为不同的手链。但是，我们也不要忘记旋转的概念。如果旋转第一条手链可以得到第二条手链（这也意味着旋转第二条手链可以得到第一条手链），我们就称这两条手链全等。
也许，按全等性质陈列手链会让珠宝展柜看起来更漂亮。每条手链有 7 种旋转方式，所以我们可以将 128 条手链按每 7 条一堆分开摆放。那么，能分成多少堆呢？用 128 除以 7 即可，答案是 18.285 714 2…。
太棒了，又出现一个错误！一定有什么地方出了问题，因为 128 不是 7 的倍数。问题出在我没有画出来的手链上，例如 7 颗宝石全是蛋白石的手链（见图 6–4）。对这条手链来说，7 种旋转方式得到的手链皆相同！所以，这不是一个包含 7 条手链的群，而是一个只有 1 条手链的群。同理，7 颗宝石全是珍珠的手链也自成一群。
我们是否应该考虑其他小群呢？是的。图 6–5 中的 2 条四宝石手链也自成一群，这是因为蛋白石与珍珠相间的图案每两格就会重复出现一次。所以，要得到初始手链，我们无须旋转 4 格，只要旋转 2 格即可。
不过，如果手链上有 7 颗宝石，这种情况就不会发生了。发挥你的想象力，假设你有一条旋转 3 格即可回到初始形态的手链。这样一来，你就有一个包含 3 条手链的群：初始手链，旋转 1 格后的手链，旋转 2格后的手链。等一下，如果它们中有一模一样的呢？为了排除这种讨厌的可能性，我们假设让这条手链回到初始形态的最小旋转格数a 是 3 格。如果这条手链旋转 3 格能回到初始形态，那么它旋转 6 格、9 格也都能回到初始形态。但现在有一个问题，因为手链旋转 7 格肯定会回到初始形态，所以旋转 9 格就相当于旋转 2 格，但旋转 2 格不可能让手链回到初始形态，因为我们刚刚假设让手链回到初始形态的旋转格数不能少于 3 格。
如果你有一个包含 5 条手链的群，也就是说让手链回到初始形态的最小旋转格数是 5 格，会怎么样？在这种情况下，手链旋转 10 格也会回到初始形态，而旋转 10 格相当于旋转 3 格，我们又一次自相矛盾。如果手链旋转 2 格即可回到初始形态呢？这对四宝石手链是可行的。旋转 2 格可以让手链回到初始形态，旋转 4 格、6 格和 8 格也会产生同样的效果。但别忘了，旋转 8 格相当于旋转 1 格。当手链上只有 4 颗宝石的时候，我们不会遇到这样的问题。将手链旋转 2 格，它就会回到初始形态；将手链旋转 4 格，它也会回到初始形态。其中不存在自相矛盾之处，原因在于 4 是 2 的倍数。而围绕七宝石手链的所有问题的根源在于，7 不是 3、5 和 2 的倍数。7 不是任何数的倍数，因为 7 是素数。
顺便说一下，同样的原理对我们了解蝉的习性有很大的帮助。每隔17 年，我的家乡马里兰州就会出现“东部大虫群”，几千亿只蝉从地下钻出来，好似一块唧唧叫的地毯，覆盖了整个中大西洋地区。走在路上， 一开始你会尽量避免踩到它们，但很快你就放弃了，因为它们的数量实在太多了。
但为什么是 17 年呢？很多蝉类专家认为（我要诚实地告诉你们，在这一点上蝉类专家之间存在着严重分歧。你可能想不到会有那么多位蝉类专家，而且十分有趣的是，他们会粗俗地贬低彼此的蝉类周期性假设），蝉在地下蛰伏 17 年，是因为 17 是素数。假设换成 16 年，你可以想象一下，如果有类似周期性的蝉的天敌每 8 年、4 年或 2 年出现一次， 就会有大量的蝉可吃。但事实上，饥饿的蜥蜴或鸟类的生命周期都不与东部大虫群同步，除非它们也进化出 17 年的生命周期。
在上文中我说 7（像 5、17 和 2 一样）不是任何数的倍数，这有点儿言过其实了。它是 1 的倍数，当然它也是 7 的倍数。所以有两种手链群：一种群只包含 1 条手链，而另一种群包含 7 条手链。在只包含 1 条手链的群里，所有宝石都必须是一样的，因为任何旋转都不会改变它的样子。
因此，全蛋白石手链和全珍珠手链是分别包含 1 条手链的群，其余126 条则分成若干个分别包含 7 条手链的群。现在，我们可以用除法了：
如果手链上的宝石数量增加到 11 颗呢？手链的总数就是，即2048 条。同样，全蛋白石手链和全珍珠手链各有 1 条，其余 2 046 条则分成若干个分别包含 11 条手链的群，确切地说，这样的群有 186 个。你可以继续分析下去：
你注意到我跳过 15 了吗？其中一个原因在于，恒达注册15 不是素数，它等于 3乘以 5 ；另一个原因在于，，它不能被 15 整除。（手链旋转爱好者们，你们最好自己抽时间验证一下，32 768 条手链可以分为 2个分别包含 1 条手链的群、2 个分别包含 3 条手链的群、6 个分别包含 5 条手链的群，以及 2 182 个分别包含 15 条手链的群。）
你可能会认为我们旋转手链是虚度光阴之举，但我们其实是在用圆的几何形状和它的旋转证明关于素数的一个事实。从表面上看，你根本想不到素数与几何学有关。事实上，几何学无处不在，它藏身于万物齿轮的深处。
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这个关于素数的事实有一个响当当的名字——费马小定理，它是以第一个提出它的人（皮埃尔·德·费马）的名字命名的。该定理告诉我们，不管你取哪个素数，也不管它有多大，都比的某个倍数大 2。
费马并不是一位职业数学家（17 世纪的法国几乎没有职业数学家），而是一名律师和图卢兹市中产阶级的一员，过着舒服自在的生活。费马远离巴黎的主流数学圈，主要通过与同龄的业余数学家通信参与他那个时代的科学生活。费马与伯纳德·弗瑞利卡·德·贝西以通信的方式，就完满数a 的问题进行了热烈的交流。1640 年，在给弗瑞利卡的一封信中首页-赢咖3世纪娱乐-登录首页-， 费马首次陈述了这个定理，但没有写下证明过程。费马还说，他想到了一种证明方法，“要不是担心写起来太长的话”，他肯定会把它写进信里。这就是皮埃尔·德·费马典型的言行举止。如果你听说过他的名字，那肯定不是因为费马小定理，而是因为费马大定理（也叫费马最后定理）。但后者既不是费马证明过的定理，也不是他生前做的最后一件事，而是 17 世纪 30 年代他在丢番图的《算术》一书的页边空白处草草记下的一个关于数的猜想。费马声称他想出了一种十分悦目的证法，但页边空白处太小，根本写不下。费马大定理最终被证明为真，但那已经是几个世纪之后的事了；直到 20 世纪 90 年代，安德鲁·怀尔斯和理查德·泰勒才完成了这个定理的证明。
对此，有一种说法是，费马具有远见卓识，无须证明就能可靠地推断出数学陈述正确与否，就像国际跳棋大师无须制定制胜战术就能感知到某个走法是否合理一样。还有一种更合理的说法是，费马也是一个普通人，不能始终做到谨慎行事。费马肯定很快就意识到自己没有证明最后定理，因为他后来写下了关于这个定理的几个特殊例子，却再也没有声称他知道该定理的证法。针对费马过早下断言的举动，法国数论学家安德烈·韦伊写道：“几乎毫无疑问，这是由他的某种误解造成的。但由于命运的奇妙转折，这在那些无知者眼中反倒成了他显赫声望的主要来源。”
费马在给弗瑞利卡的信的结尾处写道，他认为所有形式的数都是素数。他一如既往地没有给出证明过程，而是说他验证了当、 、 、 、 、时，他的猜想成立，所以“我几乎可以确定它是真的”。但费马错了，他的猜想并非对所有数都为线 时！在验证过程中他误以为（ ）是素数，但他没有注意到这个数可以分解成 641×6 700 417。不过，弗瑞利卡没有发现费马的这个错误（太遗憾了，从那些信件的语气看，他迫切希望找出这个声望超过自己的通信者的错误），费马本人也没有，他始终坚信自己的猜想是正确的，显然他从未想过再去检验一下他当初做过的算术运算。有时候你感觉某些事肯定是对的，但即使你成了像费马那样声名赫赫的数学家，你感觉对的事也未必全对。
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